Einstellungstest: Quick Math & Kopfrechnen meistern

Zur Auffrischung deiner Rechenfertigkeiten haben wir eine Liste mit grundlegenden Basics zusammengestellt. Für eine erfolgreiche Anwendung der fortgeschrittenen Konzepte solltest du diese 10 Rechenregeln immer im Hinterkopf behalten:

1. Mehrstellige Zahlen lassen sich aufteilen: 345 = 300 + 40 + 5
2. Bei Summen und Produkten können die einzelnen Zahlen getauscht werden: 64 + 37 = 37 + 64. und 64 * 37 = 37 * 64
3. Subtraktion ist die Umkehrung der Addition: Aus 5 + 9 = 14 folgt, dass 14-5 = 9 und 14 – 9 = 5
4. Division ist die Umkehrung der Multiplikation: Aus 6 * 7 = 42 folgt, dass 42/7 = 6 und 42/6 = 7
5. Das Quadrieren von Zahlen ist die Multiplikation der Zahl mit sich selbst: 11² = 11*11
6. Ein Prozentanteil ist immer eine relative Größe zu Hundert und kann als Bruch ausgedrückt werden: 20% ist dasselbe wie 20/100
7. Eine Prozentzahl kann auch als Dezimalzahl ausgedrückt werden: 70% = 0,7
8. Beim Multiplizieren und Teilen mit 10er Zahlen müssen nur Kommas verschoben werden: 73*10 = 730; 73 *100 = 7300 und 924 / 10 = 92,4; 924/100 = 9,24
9. Geht es um grobe Schätzungen und nicht um das exakte Ergebnis, kann auf ganze Zahlen gerundet werden (bis 0,49 abrunden, ab 0,5 aufrunden) Beispiel: 2,49 ~ 2 ; 3,7 ~ 4 ; 7,5 ~ 8
10. Bei großen Zahlen empfiehlt es sich, mit Potenzen zu rechnen (sog. wissenschaftliche Notation). Die Nullstellen werden als Potenzzahl von 10 ausgedrückt. (z.B. 10^-2 = 0,01; 10^0=1; 10^6 = 1.000.000 )
    Multiplikation: Man multipliziert die Koeffizienten und addiert die Potenzen. 2.000.000 * 800.000.000 = 2* 10^6 * 8 * 10^8 = (2*8) * 10^6+8 = 16 * 10^14
    Division: Man teilt die Koeffizienten und zieht die Potenzen voneinander ab. 450.000.000 / 300.000 = 4,5 * 10^8 / 3 * 10^5 = (4,5/3) * 10^8-5 = 1,5 * 10^3 = 1,5 * 1000 = 1.500

Die Idee: Das Teilen durch eine ganze Zahl fällt einfacher als das Multiplizieren mit Prozentangaben. Es gilt zu überlegen, wie oft die Zahl vor dem Prozentzeichen in 100 passt und diese Zahl als (näherungsweisen) Teiler zu verwenden.

Beispiel: 14% von 700.000 = ?

Die Prüfung des Prozentwerts zeigt, dass 14 annähernd 7-mal in 100 passt. Führt man nun die Division 700.000/7 durch ergibt sich, dass 14% von 700.00 ungefähr 100.000 sind (das exakte Ergebnis lautet 98.000).

Um den Prozess der Berechnung weiter abzukürzen lohnt es sich folgende Hilfstabelle im Kopf zu haben:

• 50% entspricht „geteilt durch 2“
• 33% entspricht annähernd „geteilt durch 3“
• 25% entspricht „geteilt durch 4“
• 20% entspricht „geteilt durch 5“
• 17% entspricht annähernd „geteilt durch 6“
• 14% entspricht annähernd „geteilt durch 7“
• 12,5% entspricht annähernd „geteilt durch 8“
• 11% entspricht annähernd „geteilt durch 9 „
• 10% entspricht „geteilt durch 10“
• 5% entspricht „mal 5, geteilt durch 100“
• 2% entspricht „mal 2, geteilt durch 100“ 

Die Idee: Kommastellen zweier Faktoren können so gegeneinander verschoben werden, dass der Gesamtwert des Produkts gleich bleibt. Da Prozentzahlen auch als Dezimalzahl geschrieben werden können, sind Anteile oft leichter zu berechnen indem man die Kommastellen der Faktoren verschiebt.

Beispiel: 15% von 40 = ?

Die Aufgabe kann ebenso als 0,15*40 ausgedrückt werden. Rückt man das Komma bei 0,15 um eine Stelle nach rechts und im Gegenzug bei 40 nach links ergibt sich: 4* 1,5. 15% von 40 sind also 6.

Weitere Beispiele: 

• 1,2% von 75.000 = 0,012 * 75.000 = 12 * 75 = 900
• 4% von 490.000 = 0,04 * 490.000 = 4 * 4.900 = 19.600
• 1.000% von 8.000 = 10 * 8.000 = 1 * 80.000 = 80.000 

Die Kombination dieser Kopfrechen-Konzepte lässt dich eine Zielgruppe im Bewerbungsgespräch schnell bestimmen, z. B. für die Chancen ein Buch elektronisch zu vertreiben:

Leser: 
75% aller Deutschen
( 80 / 4 ) * 3 = 20 * 3 = 60 Mio

E-Book-affin: 
50% aller Leser
60 / 2 = 30 Mio

Zahlungsbereitschaft > 15 Euro:
31% aller eBook-affinen 
30 Mio / 3 = 10.000.000

Durchschnittlíche Ausschöpfungsquote:
2%
0,02 * 10.000.000 = 2 * 100.000 = 200.000

Die Idee: Das Umgruppieren und Zerlegen eines Produktes ändert nichts am Ergebnis. Das Aufteilen einer Berechnung in mehrere Teilrechnungen erleichtert das Kopfrechnen.

Beispiel: 36 * 14 = ?

Zunächst wird der kleinere Faktor in Teilfaktoren zerlegt: 10 & 4
Nun rechnet man die Teilprodukte aus und addiert diese: 36 * 10 + 36 * 4
= 360 + 144 = 504

Weitere Beispiele:

• 11* 120.000 = 10*120.000 + 120.000 = 1.200.000+120.000 = 1.320.000
• 15* 330 = 15*300 +15*30 = 4500+450 = 4950
• 12* 400.000 = 10*400.000+2*400.000 = 4.800.000
• 12* 0,23 = 10*0,23+2*0,23 = 2,3+0,46 = 2,76
• 12*333.000 = 10*333.000+2*333.000 = 3.330.000 + 666.000 = 3.996.000
• 22 * 4.500 =20*4500 + 2*4500 = 90.000 + 9.000 = 99.000
• 109* 30 = 100*30 + 9*30 = 3000 + 270 = 3270
• 450 * 460 = 450 *400 + 450*60 = 180.000 + 27.000 = 207.000 

Die Idee: Das Erweitern eines Faktors ändert nichts am Ergebnis, vorausgesetzt die aufgeschlagene Menge wird später wieder abgezogen. Da man mit runden Zahlen wesentlich schneller rechnen kann, lohnt es sich, nahe an runden Zahlen liegende Faktoren auf- oder abzurunden.

Beispiel: 39 * 0,25 = ?

Zunächst rundet man den Faktor 39 auf: 
40 * 0,25 = 10
Nun rechnet man den Teil aus, der durch das Aufrunden hinzukam, und zieht diesen vom Ergebnis ab: (40-39) * 0,25 = 1 * 0,25 = 0,25
10 – 0,25 = 9,75

Weitere Beispiele:

• 3*88 = (90*3)-(2*3) = 270-6 = 264
• 15*79 = 15*79 = (15*80) –(15*1) = 1200-15=1185
• 99*12 = (100*12)- (1*12) = 1200 – 12= 1188
• 998*1,02 = (1000*1,02)- 2*1,02 = 1020 – 2,04 = 1017,96
• 0,33 * 18.000 = 20.000*0,33 – (20.000-18.000)*0,33 = 6600 –660 = 5940
• 1,8 * 12.000 = 2 * 12.000- 12.000*0,2 = 24.000-2400 = 21.600

Die Idee: Jede zweistellige Zahl kann sehr einfach mit 11 multipliziert werden. Ist die Quersumme einstellig, wandert wird sie in die Mitte des zweistelligen Faktors und schon hat man das Ergebnis. Ist die Quersumme zweistellig, setzt man nur deren Einerstelle ein und addiert zur Ziffer, die links von der Lücke steht, eine 1 dazu.

Beispiel: 63 * 11 = ?

Die zu teilende Zahl wird in ihre Einzelteile zerlegt: 63 -> 6_3
Quersumme des großen Faktors: 6+3 = 9
Quersumme in die Lücke einsetzen: 6 9 3
Ergebnis: 693

Beispiel: 99 * 11 = ?

Die zu teilende Zahl wird in ihre Einzelteile zerlegt: 99 -> 9_9
Quersumme des großen Faktors: 9+9 = 18
Man setzt nur die rechte Ziffer (Einerstelle) der Quersumme in den Faktor ein:
9 8 9
Die Zehnerstelle der Quersumme wird links der Lücke hinzu addiert:
9_8_9 -> (9+1) 8 9
Ergebnis: 1089

Weitere Beispiele: 

• 25*11 = 2_5 
  QS: 2+5 =7 
  Ergebnis: 275
• 81*11 = 8_1 
  QS: 8+1=9 
  Ergebnis: 891
• 11*67 = 6_7 
  QS: 6+7=13 
  Ergebnis: 737
• 59*11 = 5_9 
  QS: 5+9 = 14 
  Ergebnis: 649

Annahmen: 

• Im Unternehmen arbeiten 79 Menschen.
• Eine Kaffeepause dauert 15 Minuten.
• Das Jahr besteht aus 220 Arbeitstagen.
• Eine Arbeitsstunde kostet den Arbeitgeber durchschnittlich 22 Euro.

Rechnung:

Pausenstunden pro Tag:
79 Menschen * 0,25 Stunden
Erweitern: 80 * 0,25 – 0,25 = 20- 0,25 = 19,75

Pausenstunden pro Jahr:
19,75 Pausenstunden * 220 Tage
Erweitern: 20 * 220 – 0,25 * 220 = 4.400 – 55 = 4.345 Stunden pro Jahr

Kosten pro Jahr:
4.345 * 22
Aufteilen: 20 * 4.345 + 2 * 4.345 = 86.900 + 8.690 = 95.590 Euro pro Jahr 

Beispiel: Wie viele E-Reader gibt es 2010 an deutschen Schulen?

Annahmen: 

• 11 Bundesländer nutzen den E-Reader bereits.
• Im Jahr 2009 werden je Bundesland ca. 470.000 Lesegeräte eingesetzt.
• Für 2010 erwarten die Länder einen weiteren Anstieg der E-Reader-Nutzung um 10%. 

Rechnung:

Marktdurchdringung in 2009 berechnen:
11* 47 *10.000; Quersumme = 11; 
Ergebnis: (4+1) 1 7 = 517*10.000 = 5.170.000

Marktwachstum für 2010 bestimmen:
Aufrunden des Volumens 2009 ≈ 5,2 Mio; Wachstumsrate: 10% = Faktor 1,1 

Marktdurchdringung 2010: 5,2 Mio wird zum Faktor 52; Wachstumsrate 1,1 wird zum Faktor 11 

Rechnung: 52 *11 = 572
Ergebniswert zwei Kommastellen nach links verrücken:
ca. 5,72 Mio Reader in 2010

Die Idee: Auch große Zahlen können durch einen einfachen Quick Math Trick sehr leicht durch 5 geteilt werden: Man verdoppelt einfach die Ausgangszahl und setzt dann das Komma des Zwischenwerts um eine Stelle nach links.

Beispiel: 1432 / 5 = ?

Verdoppeln: Statt zu teilen wird die große Zahl verdoppelt. 
2 * 1432 = 2864
Komma verschieben: Das Komma wandert um eine Stelle nach links.
Ergebnis: 286,4

Weitere Beispiele:

• 31 / 5= 31*2=62
  62/10 = 6,2
• 783 / 5 = 783 * 2 = 1566
  1566/10 = 156,6
• 164.000 / 5 = 164.000 *2 = 328.000
  328.000/10 = 32.800
• 340 / 50 = 340 * 2 = 680
  680/100 = 6,8
• 28,5 / 5 = 28,5 * 2 = 57
  57/10 = 5,7
• 810 / 500 = 810*2 = 1620
  1620 / 1000 = 1,62
• 13,5 / 0,5 = 13,5*2 = 27
  27/1 = 27
• 7300 / 5000 = 7300*2 = 14.600
  14.600/10.000 = 1.46

Die Idee: Verändert man Dividend und Divisor um den gleichen Faktor ändert sich nichts am Ergebnis. Umständliches Teilen durch halbe Zahlen wie 1,5 oder 3,5 usw. kann deshalb durch das Verdoppeln der Zahlen umgangen werden.

Beispiel: 440 / 5,5 = ?

Elemente verdoppeln: 5,5 * 2 = 11 & 440 * 2 = 880
Neuen Quotient bilden: 880 / 11 
Ergebnis ausrechnen: 880 / 11 = 80

Weitere Beispiele:

• 140 / 3.5 = 140/3.5 = 280/7 = 40
• 10,5 / 1.5 = 10,5/1.5 = 21/3 = 7
• 38,5 / 55 = 38,5/55 = 77 / 110 = 0,7
• 123 / 0,25 = 123 / 0,25 = (4*123) / (4*0,25)= 492/1= 492
• 50 / 0,125 = 50 / 0,125 = 50 *8 / (8*0,125) = 400 / 1 = 400
• 7000 / 1,75 = 7000 / 1,75 = (4*7000) / (4*1,75)= 28.000 / 7 = 4000
• 19.000 / 2500 = (4*19.000) / (4*2500) = 76.000/10.000= 7,6 

Die Idee: Das Erweiterungsprinzip ist auch bei ungeraden Zahlen, die sich zu 1 erweitern lassen, sehr praktisch. Man erweitert den Quotienten so, dass gar nicht mehr geteilt werden muss.

Beispiel: 250 / 0,2 = ?

Ungeraden Teiler zu 1 erweitern: 0,2 * 5 = 1
Zu teilende Zahl erweitern: Zahl 125 wird ebenfalls mit 5 multipliziert:
250 * 5 = 1250
1250 / 1 = 1250