Aufgabe: Die Zwillinge am Bahnhof
Die Zwillinge Andreas und Bernhard sind am Bahnhof und warten auf den Zug. Zur Verwunderung der anderen Wartenden stellen sie sich Rücken an Rücken an die Bahnsteigkante und verharren dort bewegungslos. Durch den Lautsprecher kommt eine Durchsage: »Vorsicht an Gleis Eins! Ein Güterzug fährt durch!« Aber die Zwillinge rühren sich immer noch nicht vom Fleck. Doch genau in dem Augenblick, in dem die Spitze der Lokomotive die beiden erreicht, marschieren sie los: Andreas in Fahrtrichtung des Zuges, Bernhard entgegen der Fahrtrichtung. Gerade als das hintere Ende des Zuges auf der Höhe von Bernhard ist, bleibt dieser abrupt stehen. Einige Sekunden später, als das Zugende Andreas überholt, bleibt auch dieser stehen. Die beiden drehen sich um, sehen sich einen Moment lang an und beginnen in großen Schritten zu ihrem Ausgangspunkt zurückzukehren.
Einer der Wartenden fragt die beiden: »Hallo, was macht ihr denn da?« Bernhard antwortet: »Wir haben gemessen, wie lang der Zug ist. Ich bin 30 Meter weit gegangen und Andreas 40 Meter weit. Natürlich sind wir beide gleich schnell gegangen.«
Frage: Wie lang ist der Zug?
Tipps zur selbstständigen Lösung
Du weißt nicht nur, dass Andreas 40 Meter und Bernhard 30 Meter mit der gleichen Geschwindigkeit zurückgelegt haben, sondern du kannst auch Aussagen über die Länge der Strecke machen, die der Zug währenddessen zurückgelegt hat.
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Die Lösung des Brainteasers
Unser Lösungsvorschlag: Andreas geht in Fahrtrichtung des Zuges los, als die Spitze des Zuges auf seiner Höhe ist und er bleibt stehen, als ihn das Zugende erreicht. Während Andreas also 40 Meter zurücklegt, legt der Zug seine komplette Länge – von der Spitze der Lok bis zum Zugende – zurück und außerdem noch 40 Meter mehr, denn um diese Entfernung hat sich Andreas in Fahrtrichtung bewegt.
Die entsprechende Überlegung musst du auch für Bernhard anstellen. Während Bernhard – mit der gleichen Geschwindigkeit wie Andreas – entgegen der Fahrtrichtung des Zuges geht, legt dieser ebenfalls seine komplette Länge abzüglich der 30 Meter, die Bernhard ihm entgegengegangen ist, zurück. Vorausgesetzt der Zug fährt mit konstanter Geschwindigkeit, kannst du mit diesen Informationen die Länge des Zuges bestimmen.Sicherlich weisst du noch, wie man allgemein Geschwindigkeiten berechnet. Wenn nicht, solltest du dir diese Formel unbedingt einprägen, da es in Brainteasern immer wieder um Geschwindigkeiten geht. Die Variablen sind Geschwindigkeit (v), Weg (s) und Zeit (t). Die allgemeine Formel lautet:
Geschwindigkeit = Weg / Zeit oder entsprechend v = s / t
Zur Lösung der Aufgabe werden folgende Variablen definiert:
L = Länge des Zuges
t1 = Zeit, die Bernhard unterwegs ist
t2 = Zeit, die Andreas unterwegs ist
Über die Geschwindigkeit des Zuges wissen wir:
I. v = (L – 30) / t1
II. v = (L + 40) / t2
Da der Zug mit konstanter Geschwindigkeit fährt, können wir beide Gleichungen gleichsetzen:
(L – 30) / t1 = (L + 40) / t2
Da die Zwillinge beide gleich schnell gehen, Bernhard in der Zeit t1 30 Meter zurücklegt und Andreas in der Zeit t2 40 Meter, wissen wir auch:
t2 = (4/3)*t1
(Wem das nicht direkt einleuchtet, der sollte sich noch einmal die allgemeine Formel zur Berechnung von Geschwindigkeiten ansehen.)
Also gilt:
(L – 30) / t1 = [(L + 40) / (4/3 *t1)]
Löst man diese Gleichung auf, dann erhält man L = 240, der Zug ist also 240 Meter lang.
Du kannst diesen Brainteaser alternativ auch verbal lösen: Als das Zugende Bernhard erreicht, ist Andreas gerade 30 Meter weit gegangen. Das muss so sein, da die beiden ja gleich schnell gehen. In diesem Moment sind die beiden also 60 Meter voneinander entfernt. Bis das Zugende nun Andreas erreicht, geht dieser noch weitere zehn Meter. In der Zeit, in der Andreas die letzten zehn Meter geht, legt der Zug 70 Meter zurück. Der Zug ist also sieben Mal so schnell wie die Zwillinge. Also legt der Zug, während Andreas 40 Meter weit geht, 280 Meter zurück. Somit ist die Spitze des Zuges in dem Moment, in dem Andreas anhält, 280 Meter vom Ausgangspunkt entfernt. Das Zugende ist in diesem Moment außerdem schon 40 Meter vom Ausgangspunkt entfernt. Also ist der Zug 240 Meter lang.Ob du diesen Brainteaser mithilfe eines Gleichungssystems oder verbal löst, bleibt dir überlassen.
Lösung: Der Zug ist 240 Meter lang.
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